小编：
几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出的十个核心概念之一。几何直观教学有助于学生直观地理解数学并促进学生思维发展。信息技术与数学教学融合有利于促进学生个性化学习和终身学习，对于培养学生的创新思维、提升推理能力、促进数学核心素养培养有很大帮助。如何唤起学生的生活经验，让学生带着浓厚的兴趣去猜想；如何提供工具和路径，让学生自主地去探究、归纳图形的特征进而深度理解概念；如何设置有价值的应用场景，使抽象的数学概念还原回到鲜活的生活中去，是教师需要深入探究的问题。
笔者选择在2014年“一师一优课”活动中获奖的“三角形的分类”“垂直与平行”两节课例，说明信息技术是如何支撑“几何直观”素养培养的。两个案例在教学流程上是相似的：都是按照情境驱动、问题发现、方案构想、探索体验、交流分享、提升应用的基本流程实施的。但两者的教学难点则各有侧重：“三角形的分类”难在理解分类标准不同对分类结果的影响，以及不同分类结果之间的关联；而“垂直与平行”难在沟通点、线、面、体之间的横向关联，以及从动态化的角度理解不同的位置关系。下面，笔者基于两个案例交错分析信息技术是如何支撑几何直观素养的构建、深化、表达、拓展的。
一、营造鲜活的问题情境，构建直观化的场景
数学知识来源于生活。生活中的三角形、垂直与平行现象随处可见，关键是要将其转化为学生感兴趣的问题，进而让学生通过操作进行体验。此外，还要充分考虑学生的认知基础。“垂直与平行”教学中，教师利用图、文、声、像并茂的电子课件为学生营造了非常贴近生活的任务情境——国庆节长假快到了，小明打算去北京的哥哥家去玩。在出发之前他给哥打了一个电话。“我们一起听听他和哥哥的对话吧，然后帮助小明画出旅行地图。”
这个设计很有意思：一是这个情境有现实价值，是人们生活中常见的问题；二是完成这一任务要应用到以前学过方向与位置、直线与线段的知识，还会遇到用以前的数学知识描述不了的知识，即两条线的位置关系。“如何描述这些位置关系呢？”这样，新知被自然地引出，为学生后续操作、推理提供了必要的学习动力与操作环境的支持。
很多时候小学生缺乏内驱力，他们不像中学生、大学生那样明确地知道自己为什么学习。很多小学生的学习是基于生活中的事件而开始的。因而，情境非常重要。教师要提供具有较强代入感和现实感的情境。电脑游戏之所以吸引人，就是因为它的代入感很强。但游戏的现实感不强。该教师设计的问题情境兼具代入感和现实感，为学生建立了一个推理活动得以继续有效开展的学习场。
二、提供灵活的交互功能，支撑个性化的探究
在情境中，学生发现并提出问题。接下来，教师要引领学生构想解决问题的方案，开展探索活动。常规环境下，学生常常只能凭空想方案，要探索手里没有工具。如今的课堂就现代多了，学生可以利用专题网站、搜索引擎、虚拟工具、电子教材等交互式学习工具，寻找解决方案，验证方案是否有效。
这两节课，教师都是以分类活动为主线，引导学生开展自主探索与合作交流。在学生的学习欲望被激发之后，教师利用电子学件给学生提供了灵活、便捷的操作环境，支撑学生创造性思维表达：学生自己构思分类标准、确定分类方法、表达分类结果。“三角形分类”教学中，教师首先从生活情境中抽象出12个形态各异的三角形呈现给学生，然后让学生猜想“可以按什么标准对它们分类？”因为之前有对角、长度的认知，大部分学生在头脑中有了初步的想法。
教师预设了学生的几种分类方案：有的学生想到基于角的分类，即锐角、钝角、直角，来对三角形分类；有的学生想到基于三角形的普遍属性，即大小（面积）、长度（周长），来对三角形分类。不管哪种方案，都是类比推理的结果。如果采用这些方案，学生需要花点时间去测量，比如量角、量长度，耗时较长，而这节课的重点并非测量。笔者还见过类似的问题，比如统计与概率教学中有些教师陷入误区：教学“比较两个商场的抽奖活动的中奖率、分析两个骰子的各种点数和出现的可能性”时，教师课前精心准备转盘、球、暗箱等学具，课上引导学生将大部分的精力花费在动手试验上，没把握住教学的重点。这类课教学的重点目标是根据统计结果预测事件发生的可能性并做出决策，教师应该将活动重心放在对于试验结果的合情推理上，而不应该让动手操作占太大比重。
教师对教学目标一定要定位准确。对于三角形的分类教学，让学生知道角的大小、边的长度是分类的前提，但并不是教学重点，如果在测量、计算上面花比较多的时间，是得不偿失的。正是基于这样认识，课例中执教的教师这样开展“三角形分类”教学：在学件上给学生提供快速显示角度、长度，甚至还有面积、周长等功能（如图1），这不仅仅避免了测量的误差，更重要的是保证了学生推理探究的时间和空间。 图1三角形分类 下载原图
具体来说，教师将三角形的周长、面积、边长、角度等相关属性都以点击出现的形式提供给学生。有的学生按边分，有的按面积分，有的按角度分，有的分3类，有的分5类。学生可以为每类起一个名字……这里，教师为学生营造了一个可以灵活选择分类标准、确定分类方法、呈现分类结果的探究情境。在这个过程中不断地有矛盾出现，使研究的意味越来越浓。如此，学生对三角形的分类也就更明确了，教学的重点有效地得以突出。
这个设计与“垂直与平行”教学有异曲同工之妙。学生在帮助小明解决画图问题的过程中，感受到了路线之间的位置关系（如图2）。 图2线路位置 下载原图
教师进一步提问“图中任意两条路的组合共有多少种，能否对它们分类”。这样的问题思维含量较高。教师通过网络收集学生的不同路线组合后，将10组直线的图片分发给学生，让学生通过拖动、延长、缩短、标注等方式进行个性化分类。
学生在教师的引导下逐步认识到两条直线的位置关系有相交和不相交之分，相交中还有相交成直角与不成直角的情况，有两个角是锐角的三角形中另一个角还有直角和钝角的区别。推理活动一步一步深入。这是一种由“面”到“点”的学习。这样的设计不仅符合学生的认知规律，而且有利于学生推理与研讨。学生在解决分类问题的过程中，充分感受到了标准不同分类结果也不同，一般中有特殊等思想。整个学习过程，学生都是在操作中探究。
在这个过程中学生不断地争论，研究兴趣很浓。通过对多种分类结果的比较、分析，学生对概念的认识逐步清晰，这些都是宝贵的数学活动经验。学生有了这样丰富的体验之后，得出同类图形的特征也就水到渠成了。分类比较是概念教学的主要方法。应用信息技术快速测量、计算可以提高推理效率，而点击、拖曳、标记、画图等功能的应用为深度推理和表达提供了技术条件。
三、随机、个性化构造个例，助推几何直观的深化
对于这两节课的教学，笔者觉得有一点还不够到位，就是学生对12个三角形、10对直线进行分类之后，应该给学生提供更多的图形个例，以使从众多图形中得到的图形特征更具有普遍意义，即完成非严格的完全归纳推理。
虽然大部分学生会有这样的意识：所有的三角形、两条直线都可以归结到之前总结的分类类别里，但不排除有“钻牛角尖儿”的学生偏想多试一下，努力找出不同于之前的新的类别。这里更重要的是向学生渗透完全归纳这种数学研究的方法。数学上的很多发现就是缘于这种“较真”，这样的活动对培养学生形成严谨的研究态度是很有价值的。信息技术也能为这种教学的实施提供有力的支持。教师可以让学生通过任意的拖曳、拼摆、输入等操作，构造出自己想要的或者随机的多个图形、数与式、图表等，开展基于这些个性化内容的推理活动（如图3）。 图3三角形的内角和 下载原图
四、创设综合的应用场景，支撑创造性思维的表达
运用不同类别图形的特征进行合理的猜想、判断是这两节课的教学难点，它是对分类知识的综合运用。“三角形分类”教学中，教师的创新教法让笔者眼前一亮：利用猜信封（如图4）、蚂蚁搬家的游戏巧妙地将难点讲解融合于其中，通过开放性课题来激发学生的认知矛盾。教师借此帮助学生理解一般中包含特殊、不同分类方法之间的交叉，让等腰三角形、等边三角形、钝角等腰三角形、锐角等腰三角形、直角等腰三角形、锐角不等边三角形……一系列的模型逐渐清晰地构建在学生头脑中。在这个过程中，课件的设计很巧妙，教师设计了画线、延长等功能，让学生的猜想、验证、表达有了直观的辅助，很好地解决了学生凭空猜测、难以表达等问题。在学生掌握了三角形分类方法之后，教师应用信息技术为这种从一般到特殊的猜想、验证活动提供了有力的支持，让学生利用学件的交互功能创造出多样的问题解决思路、多种问题的结论，使概念体系更加完善。
五、虚实相结合构造模型，助力知识的建模及应用
模型是构建数学与现实世界的桥梁。这里应重点关注：在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述或者解决一类现实问题。在学生初步概括出相交、垂直与平行这三个概念的特征之后，教师又设计了一个活动——寻找生活中的相交、垂直与平行现象，允许利用平板电脑拍照、录像。设计这一活动的目的有三：一是通过还原生活情境，让学生进一步理解这几种位置关系的本质特征，体会知识的应用价值；二是营造认知冲突，突破教学难点，让学生深化对“同一平面”的理解；三是利用一个物体上的多条线引导学生发现多重规律。 图4猜信封 下载原图
“垂直与平行”教学中，教师借助一个可以灵活地放大、缩小、旋转、延长、变形、透视、截面的三维软件设计课件，解决了实物学具立体、固定大小、操作表达不方便的难题（如图5），很好地支撑了学生的多维操作与思维表达，使学生更容易地从中抽象出共性的规律（如图6），力图体现一个大的模型思想。 图5实物模型 下载原图
在垂直、平行、相交的意义构建之后，在生活中寻找垂直、平行、相交进而巩固模型尤为重要。日常物品一般都是立体的、固定大小的，学生操作、表达起来不方便，很难从中抽象出共性的规律。教师应用三维工具很好地解决了这一问题，突破了垂直与平行要在同一平面内讨论的教学难点，同时也让学生充分体验到了知识的应用价值。 图6数学模型 下载原图
综观这两节课的教学，“课堂教学中教师是主导、学生是主体”的思想体现得很充分，这得益于教师对学习目标的准确把握——不仅学会基础知识和基本技能，而且要增加基本思想和基本活动经验。教师对学习资源进行有效设计，支撑学生的自主、个性化学习；对教学方法进行创新设计，坚持引、扶、导、放相结合。这一切源于教师对学生的认知规律的理解、对人性的尊重。
深度融合信息技术的数学教学具有激活学生思维，发展学生几何直观、推理能力、建模能力的独特价值。教师在教学中要重视学生基本活动经验的积累，重视数形结合的应用，拓展几何直观的时空和应用范围，逐步构造直观的系列化的情境，让学生从“直观感知”到“直观洞察”，最后达到“直观理解”的思维高度。只有具备这样的认识，师生应用信息技术才能真正收到如虎添翼的效果。
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