小编： 针对Euler函数φ(n)与函数ω(n)混合的形如φ(n)=2ω(n)q1ω(nq2ω(n))…qkω(n)的方程的可解性，其中q1,q2，…，qk为互异的奇素数，提出了方程φ(n)=2ω(n5ω(n))的可解问题，利用Euler函数φ(n)与函数ω

数论函数是一类重要的函数，研究数论函数方程的可解性是数论研究的一类重要课题[1]．对于任一正整数n，令φ(n)为欧拉函数，它是数论中一个重要的函数之一[2]．对于包含欧拉函数的方程研究内容十分丰富，如文献[3,4,5,6,7]．令ω(n)表示正整数n的相异质因数个数函数．对于包含函数φ(n)与ω(n)的方程的可解性问题研究有着不少的成果．文献[8]给出了方程φ(n)=2ω(n)的全部整数解;文献[9]讨论了方程φ(φ(n))=2ω(n)的可解性，并给出了其全部整数解;文献[10]讨论了方程φ(φ(φ(n)))=2ω(n)的可解性，并给出了全部整数解;文献[11]给出了方程φ(n)=2ω(n)3ω(n)的全部整数解;文献[12]讨论了方程φ(φ(n))=2ω(n)3ω(n)的奇数解的情况;文献[13]讨论了方程φ(n)=2ω(n)3ω(n)5ω(n)的可解性问题．本文将讨论方程:

的可解性，利用欧拉函数的有关性质以及初等方法，给出了该方程的一切整数解．

1主要结论及其证明

定理1式(1)有正整数解n=1,11,202,250,2222,2510,2750,3012,3750,27610,37650,41250,414150.

证明显而易见，n=1是式(1)的整数解;当n≥2，设n=2δP1δ1P2δ2…Pkδk是正整数n的标准分解式，其中δ是一非负整数，δi是正整数，Pi是互不相同的奇素数，i=1,2，…，k.

如若δ=0，则ω(n)=k，由式(1)有;若δ≠0，则ω(n)=k+1，由式(1)有

对于式(2)，若δ≥3，则．因此，结合δ=0与δ≠0的情况，此时只需考虑0≤δ≤2.

由于Pi(i=1,2，…，k)是互不相同的单质数，当ω(n)≥1时正整数2ω(n)5ω(n)只有这5个单质因数，因此δi中有且只有1个可能满足δi≥2．便于讨论，不妨假定δ1可满足δ1≥2，且δi=1,i=2，…，k，则n=2δP1δ1P2…Pk．因此，如若δ=0，根据式(1)有;如若δ≠0，根据式(1)有

情况1δ=0.

当k=1，有P1δ1-1(P1-1)=2×5．当δ1=1，有P1=11，因此n=11是式(1)的1个整数解;当δ1≥2，此时式(1)无解．



当k=2，有P1δ1-1(P1-1)(P2-1)=22×52．如若δ1=1，有(P1-1)(P2-1)=22×52，此时式(1)无解;如若δ1≥2，则P1=5，此时式(1)无解．

当k=3，有P1δ1-1(P1-1)(P2-1)(P3-1)=2353．如若δ1=1，则;由于P1,P2,P3是3个互不相同的单质数，因此是3个不同的正整数，并且都是5β的形式，其中β是一非负整数，经计算可得，此时式(1)无解;同理可得，当δ1≥2时，式(1)也是无解的．

当k≥4，有．如若δ1=1，则;由于P1,P2，…，Pk是k个互不相同的单质数，因而，…，是k个不同的正整数，并且是5β的形式，其中β是一非负整数，因此

而当k≥4时，有50+1+…+(k-1)=50×51×…×5k-1>5k，此时式(1)无解;同理可得，当δ1≥2时式(1)也是无解的．

情况2δ≠0.

情况2.1δ=1，则n=2P1δ1P2…Pk.

情况2.1.1当k=1，有P1δ1-1(P1-1)=2252．如若δ1=1，则P1-1=22×52，因而P1=101，则n=2×101=202是式(1)的1个整数解;如若δ1=2，则P1(P1-1)=22×52，显然，不存在单质数满足P1(P1-1)=22×52，因而此时式(1)无解;如若δ1=3，则P12(P1-1)=22×52，因而P1=5，则n=2×53=250是式(1)的1个整数解;而当δ1≥4时，式(1)是无解的．

情况2.1.2当k=2，有

如若δ1=1，则(P1-1)(P2-1)=23×53,P1=5,P2=251或P1=11,P2=101，因而n=2×5×251=2510与n=2×11×101=2222是式(1)的2个整数解;如若δ1=2，则P1=5,P2=51，但P2=51不是质数，因而此时式(1)无解;如若δ1=3，则P1=5,P2=11，因而n=2×53×11=2750是式(1)的1个整数解;如若δ1=4，则P1=5,P2=3，因而n=2×54×3=3750是式(1)的1个整数解;如若δ1≥5，则方程P1δ1-1(P1-1)(P2-1)=2353无解，因而此时式(1)无解．

情况2.1.3当k=3，有

情况2.1.4当k=4，有

情况2.1.5当k=5，有

当δ1=1时，有，此时式(1)无解;类似地，可得当δ1≥2时式(1)也无解．

情况2.1.6当k≥6，有

当δ1=1时，有．由于P1,P2，…，Pk的对称与差异性，则

而当k≥6时，有，因此可得此时式(1)无解;类似地，可得到当δ1≥2时，式(1)也无解．

情况2.2当δ=2，则n=22P1δ1P2…Pk.

情况2.2.1当k=1，有P1δ1-1(P1-1)=2×52.

当δ1=1时，有P1-1=2×52，则P1=51．由于51不是质数，此时式(1)无解;当δ1=2时，有P1(P1-1)=2×52，不存在单质数P满足P1(P1-1)=2×52，此时式(1)无解;当δ1≥3时，有P12(P1-1)=2×52，可得此时式(1)无解．

情况2.2.2当k=2有P1δ1-1(P1-1)(P2-1)=2253.

当δ1=1时，有(P1-1)(P2-1)=2253，有P1=3,P2=251，则n=22×3×251=3012是式(1)的1个整数解;当δ1≥2时，有P1δ1-1(P1-1)(P2-1)=2253，可得此时式(1)无解．

情况2.2.3当k=3，有

情况2.2.4当k≥4有

当δ1=1时，有

可得此时式(1)无解;类似地，可得到当δ1≥2时，式(1)也无解．

综合以上的讨论，可得本文的定理1．证毕．

2结束语

对于包含函数φ(n)和函数ω(n)的形如的可解性问题，其中q1,q2，…，qk为互异的奇素数，本文利用Euler函数φ(n)与ω(n)的有关性质以及初等方法，给出了当k=1,q1=5时方程的所有正整数解，而对于k与q1,q2，…，qk取其他任意正整数时，也可利用本文的方式与方法进行讨论．

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